Ziel

Undeformierte Membran

Im täglichen Leben gibt es viele Anwendungsbeispiele von Fluid-Struktur-Wechselwirkungsproblemen: bei der Aerodynamik von Autos und Flugzeugen, in der Biomedizin oder in der Filtertechnik. Zur Lösung der Fluid- und Struktur-Gleichungen existieren bereits effiziente numerische Methoden, wie z.B. die Finite Elemente Methode und die Lattice-Boltzmann Methode. Zur Lösung von Wechselwirkungsproblemen müssen diese Methoden kombiniert werden.

Die einzelnen Gebiete in Wechselwirkungsproblemen werden durch unterschiedliche Eigenschaften bestimmt. Deshalb ist es rechnerisch effizienter oder manchmal sogar unerlässlich die Teilgebiete mit verschiedenen Gittern zu diskretisieren. Die Diskretisierung wird entsprechend den numerischen Methoden und den Eigenschaften des Differentialoperators, welcher das Teilgebiet beschreibt, gewählt. Unser Ziel ist es, verschiedene Gitter an den Grenzflächen zu koppeln

Lösungsweg

Deformierte Membran

Für diese Kopplung verwenden wir die Mortar Element Methode, eine Gebietszerlegungsmethode, die in Verbindung mit gewöhnlichen Approximationstechniken wie der Spektral- oder der Finiten Element Methode angewendet werden kann (Details dazu können z.B. in C. Bernadi, Y. Maday, A. T. Patera: "A new nonconforming approach to domain decomposition: the mortar element method", Paris, Cambridge nachgelesen werden).
Ausgehend von den Randwertproblemen auf den verschiedenen Teilgebieten, müssen Transmissionsbedingungen gefunden werden, die die Probleme entlang der Grenzflächen verknüpfen. Mit diesen Übergangsbedingungen kann das gesamte Problem (sowohl die beschreibenden Gleichungen als auch Rand- und Transmissionsbedingungen) schwach formuliert werden. Eine Einführung in die Formulierung von Fluid-Struktur-Problemen wird z.B. in folgendem Artikel gegeben: C. Grandmont, Y. Maday: "Nonconforming Grids for the Simulation of Fluid-Structure Interaction", 1991.

Nutzen

Nichtkonforme Netze

Die Mortar Element Methode macht es somit möglich DDFEM und ParPac zu koppeln. Dies sind zwei effektive Softwaretools zur Lösung von Solid- bzw. Fluidgleichungen. Durch die Kopplung dieser beiden Löser profitieren wir von den Vorteilen jedes einzelnen und erhalten eine effektive Lösungsmöglichkeit für Fluid-Struktur-Wechselwirkungsprobleme.