Unsere Statistiker Sascha Feth und Jochen Fiedler beantworten eine Leserfrage und bloggen im neuen Streuspanne-Post über Statistik und Mathematik rund um das Thema »Zuverlässigkeit von Corona-Schnelltests«.
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Im letzten Jahr sind wir in einer Serie von Blogbeiträgen auf das Thema Corona-Tests und deren Zuverlässigkeit eingegangen. Zu dieser Serie hat uns eine Frage eines Lesers erreicht: Wie stark erhöht sich die Zuverlässigkeit von Antigen-Tests, wenn man sich mehrfach testet? Antworten gibt es von unseren bloggenden Statistikern Sascha Feth und Jochen Fiedler.
Der Ruf der Antigen-Tests an Teststationen oder Corona-Selbsttests für Zuhause hat in letzter Zeit spürbar gelitten. Das liegt zum Teil an Erkenntnissen, nach denen Schnelltests bei geimpften Personen schlechter anschlagen, weil deren Viruslast nur über einen kürzeren Zeitraum für einen Nachweis hoch genug ist. Zusätzlich wurde bekannt, dass Omikron schlechter von Antigen-Tests erkannt wird.
Generell hat sich aber auch herumgesprochen, dass weder ein positiver Schnelltest sicher eine Infektion bedeutet noch ein negativer Test sicher das Gegenteil heißt. Zur Sicherheit wiederholen die meisten Menschen im Zweifel daher einen Test. Damit häufen sich auch Anekdoten im Bekanntenkreis über PCR-Tests, die negativ/positiv waren, obwohl ein/zwei/drei Schnelltests positive/negative Ergebnisse zeigten. Als Beispiel nehmen wir die folgende Frage, die uns als Leserbrief erreicht hat:
Wenn sich ein [gesunder] Mensch drei Mal hintereinander mit einem »schlechten« Antigen-Test testet [negativ], dessen Sensitivität 60 Prozent ist, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass er »wirklich gesund ist«?
Im ersten Satz haben wir »gesunder« in Klammern gepackt. Hier ist das nicht als Annahme zu verstehen, denn dann bräuchte man nicht nach der Wahrscheinlichkeit zu fragen, dass jemand gesund ist. Stattdessen ist hier gemeint, dass die Person keine Symptome zeigt.
Unsere Wortwahl in den ersten Zeilen dieses Beitrags war flapsig, denn DIE eine Zuverlässigkeit gibt es nicht. Stattdessen muss man von Sensitivität und Spezifität sprechen. Falls Sie mit den beiden Begriffen nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen unsere Mini-Serie zu diesem Thema (siehe Links im Infokasten).
Eine Sensitivität von 60 Prozent bedeutet, dass ein Test bei einer erkrankten Person mit 60 Prozent Wahrscheinlichkeit positiv ausfallen wird. Jetzt ist die Versuchung groß, einfach 60 Prozent dreimal mit sich selbst zu multiplizieren, was 21,6 Prozent ergibt. Vermeintlich sagt diese Zahl, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine erkrankte Person drei positive Tests am Stück erhält. Spoiler: Diese Aussage ist nicht haltbar.
Eigentlich drehte sich die Frage ja aber auch um negative Testergebnisse. Bleiben wir bei der Sensitivität von 60 Prozent, so erhält eine erkrankte Person mit Wahrscheinlichkeit 40 Prozent einen negativen Test. Hier hätten wir als Produkt 6,4 Prozent.
Diese Zahlen sind nicht erbaulich: Bei knapp 78 von 100 Erkrankten sind nicht alle Tests positiv und bei immerhin sechs von 100 Erkrankten nicht mal ein einziger Test. Unser akademisches Beispiel behandelt also wirklich einen schlechten Test. Vermutlich würde man aber bereits ab einem positiven unter den drei Tests reagieren und z.B. einen PCR-Test machen. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen positiven von drei Tests bei einem/r Erkrankten ist gerade die Gegenwahrscheinlichkeit von »kein positiver Test, gegeben die Person ist erkrankt«. Da haben wir immerhin 100 - 6,4 = 93,6 Prozent. Klingt schon besser, aber eigentlich sind unsere bisherigen Rechnungen sowieso nutzlos.
Nutzlos, weil wir bisher die eigentliche Frage noch gar nicht beantwortet haben (Wahrscheinlichkeit, dass er wirklich gesund ist) und nutzlos, weil wir unhaltbare Annahmen gemacht haben. Denn ob die Tests unabhängig sind, ist höchst fraglich.
Das ist eine schwierige Frage und wir haben dafür auch keine guten Daten. Es wäre plausibel, wenn die Testergebnisse nicht völlig unabhängig sind. Ist ein Testergebnis positiv, so haben die Reagenzien im Test auf irgendetwas reagiert – im Idealfall auf Virus-Proteine, im schlechteren Fall auf irgendwelche anderen Dinge. Diese Dinge können bei verschiedenen Personen zufällig auftreten. Beispielsweise ist bekannt, dass bestimmte Lebensmittel falsch-positive Ergebnisse begünstigen können. Für falsch-negative Ergebnisse kann man sich ähnliche, für eine einzelne Person systematische Effekte überlegen: Zum Beispiel könnte die Viruslast im Rachen bei einer Person systematisch zu niedrig sein. Entweder, weil die Impfung bei dieser Person sehr gut angeschlagen hat oder weil das Immunsystem den Erreger generell sehr gut bekämpfen kann.
Diese Annahmen in mathematische Korrelationen zu übersetzen, ist mangels Daten nicht möglich. Was wir aber tun können, ist, die Abhängigkeit der Sensitivität und Spezifität von den Korrelationen untersuchen. Im Detail vertagen wir das auf einen noch folgenden Blogbeitrag. Im Rest dieses Blogbeitrags schauen wir uns der Einfachheit halber den unplausiblen, aber gut behandelbaren Fall an, in dem die Testergebnisse unabhängig sind.
Zurück zur ursprünglichen Frage: Man hat drei voneinander unabhängige, negative Testergebnisse vorliegen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist man jetzt gesund? Um diese Frage zu beantworten, reicht es nicht aus nur die Sensitivität zu kennen, also wie zuverlässig der Test erkrankte Personen erkennt.
Während die Frage also ihre Richtung ändert, springen wir vom Konzept der Sensitivität zu dem der Segreganz. Auch diesen Betriff haben wir in unserer Miniserie eingeführt. Es ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein negativ Getesteter auch wirklich gesund ist. Bevor wir diesen Begriff aber für mehrfaches Testen erweitern können, müssen wir zuerst den einfachen Test meistern. Ohne die Formel hier im Detail erläutern zu wollen, benötigen wir dazu drei Wahrscheinlichkeiten:
Die erste Wahrscheinlichkeit ist gerade die Spezifität des Tests. In unserer Leserfrage war exemplarisch ein schlechter Test mit 60 Prozent Sensitivität beziffert. Wir übernehmen diese Annahme der Einfachheit halber für die Spezifität. Reale Spezifitäten liegen zum Glück weit höher. Mit 60 Prozent Wahrscheinlichkeit erhalte ich also einen negativen Test, wenn ich nicht erkrankt bin. Bitte beachten Sie die Reihenfolge:
»{negativer Test} wenn {nicht erkrankt}« = 60 Prozent.
Um zur umgekehrten Wahrscheinlichkeit, also »{nicht erkrankt} wenn {negativer Test}« zu kommen, Müssen wir die beiden anderen Wahrscheinlichkeiten beziffern.
Die zweite Wahrscheinlichkeit – nicht erkrankt zu sein – hängt stark vom Vorwissen ab. Greifen wir zufällig einen Menschen aus der Population Deutschlands, dann sprechen wir vermutlichen von circa 99 Prozent. Hatte diese Person aber Kontakt zu Infizierten oder sogar selbst Symptome, so springt die Wahrscheinlichkeit natürlich unkontrolliert nach unten. Nehmen wir also an, es gäbe keinen Anlass bzw. Symptome und setzen die zweite Wahrscheinlichkeit auf 99 Prozent.
Bleibt noch die Wahrscheinlichkeit für einen negativen Test. Hierzu sind die Daten nicht belastbar. Nicht alle Labore melden negative Tests, insbesondere wenn es Schnelltests sind. Wir können hier nur schätzen, dass wir uns oberhalb von 90 Prozent aufhalten. Für unsere gesuchte Wahrscheinlichkeit erhalten wir so:
Der (ausgedachte) schlechte Test bringt also mit sich, dass wir nach einem negativen Ergebnis nur mit Wahrscheinlichkeit 66 Prozent davon ausgehen können, gesund zu sein.
Mit einem Kniff können wir diesen Fall analog zu dem vorigen behandeln: Wir betrachten die Serie von drei Tests nacheinander als einen eigenen, größeren Test, welchen wir im Folgenden als Serientest bezeichnen wollen. Damit müssen wir uns nun nur noch darauf einigen, wann der Serientest positiv oder negativ ausfällt. Am naheliegendsten erscheint uns den Serientest als negativ zu definieren, wenn alle einzelnen Tests negativ ausfallen und positiv, falls dies nicht der Fall ist, d.h. wenn mindestens einer der Einzeltests positiv ist. Der Vorteil dieser Definition ist, dass wir nun diesen Serientest mit den bekannten Gleichungen behandeln können, nur eben mit einer anderen Sensitivität und Spezifität. Die Sensitivität ergibt sich aus der Gegenwahrscheinlichkeit, dass alle drei Tests einer erkrankten Person negativ sind.
In Formeln:
Die Spezifität unseres Serientests ergibt sich analog aus der Spezifität der einzelnen Tests:
Das sieht hinsichtlich der Sensitivität ziemlich gut aus: Unter unserer Unabhängigkeitsannahme ist die Sensitivität dramatisch gestiegen, von 60 Prozent auf fast 94 Prozent! Umgekehrt ist allerdings auch die Spezifität sehr stark gesunken – um fast 40 Prozentpunkte. Für realistischere Spezifitäten von etwa 99 Prozent ist dieser Abfall weit weniger dramatisch – da sinkt die Spezifität nur um 2 Prozentpunkte.
Unsere Erkenntnisse zusammengefasst:
Damit wollen wir unsere Betrachtungen zu unabhängigen Testergebnissen schließen. Im nächsten Blogbeitrag betrachten wir in wenigen Wochen ausführlich den Fall, bei dem die Testergebnisse abhängig sind.
Fraunhofer-Institut für Techno- und Wirtschaftsmathematik ITWM