Wie kann man mit Statistik die Dunkelziffer der Corona-Infektionen bestimmen?

Streuspanne – Unser Blog zu Statistik und Jurojin / 03. April 2020

Für Deutschland wurden am 2. April 73.000 Corona-Infektionen und 867 Todesfälle gemeldet. Italien beklagt über 100.000 Infektionen und 12.000 Todesfälle. Auf Basis dieser Zahlen ist die Sterblichkeit in Italien über 10-mal so hoch wie in Deutschland. Dabei ist Expertinnen und Experten klar: Dieser Unterschied ist weniger Ausdruck eines unterschiedlichen Gesundheitssystems oder einer anderen Bevölkerungsstruktur, sondern Ausdruck unbekannter Dunkelziffern.

Die Dunkelziffer benötigt man nicht nur, um unterschiedliche Sterblichkeiten zu erklären (die von Expertinnen und Experten als ungefähr gleich angenommen werden), sondern zwingend auch um zu beurteilen, wie sich die Situation weiter entwickeln wird. Wenn demnächst über eine Öffnung von Kindergärten, Schulen, Parks und Restaurants entschieden werden muss, macht es eben einen großen Unterschied ob 73.000 oder 730.000 Menschen infiziert sind.

Modell der sozial-gewichteten Prävalenz

Obgleich wir uns im Bereich »Mathematik für die Fahrzeugentwicklung« für gewöhnlich nicht mit Epidemiologie beschäftigen, haben wir viel statistische Expertise im Umgang mit unvollständigen Datensätzen (»Missing Data«) und nicht-repräsentativen Stichproben. Mit Hilfe dieser statistischen Werkzeuge haben wir (federführend durch Jochen Fiedler) das Modell der sozial-gewichteten Prävalenz entwickelt, das die Dunkelziffer aus folgenden Überlegungen ermittelt:

Das Virus hat sich zwischenzeitlich in allen Altersgruppen verteilt. In jüngeren Alterssegmenten sollte er sich, wegen höherer Mobilität, stärker ausgebreitet haben.
In detaillierten Datensätzen mit gemeldeten Infektionen ist diese gleichmäßige Durchmischung nicht erkennbar. Das Virus scheint sich stärker im höheren Alterssegmenten verbreitet zu haben.
Ursache dafür ist die Art und Weise, wie in den Ländern getestet wird. So werden zum Beispiel in manchen Ländern nur Menschen mit ernsthaften Symptomen getestet, mitunter weil die Kapazitäten nicht mehr zulassen. Das sind dann meistens ältere Menschen.
Daraus können wir vor allem in jüngeren Alterssegmenten Rückschlüsse auf die Dunkelziffer ziehen.

Unser Modell hat auf Basis der Daten vom 02.04.2020 ermittelt, dass es in Deutschland neben den 73.268 gemeldeten Infektionen mindestens 22.107 unentdeckte Infektionen geben muss. Für Italien erhält man 476.297 unentdeckte Infektionen (zusätzlich zu den 105.630 gemeldeten).

Allein durch diese Dunkelzifferschätzung relativiert sich der Unterschied in der Sterblichkeit auf einen Faktor 2 (statt über 10).

Im Folgenden erläutern wir unseren Ansatz genauer:

Update zu diesem Blogbeitrag

Der Ansatz ist bei vielen Leserinnen und Lesern sowie Kolleginnen und Kollegen auf großes Interesse gestoßen, daher haben wir uns entschieden, den Ansatz weiter zu entwickeln, so dass er die Dunkelziffer noch besser ermitteln soll.

Selbstverständlich halten wir die Spannung, wie hoch die Dunkelziffer aktuell ist, bis zum Ende des Beitrags hoch. Doch lesen Sie selbst das Update und kontaktieren Sie uns gerne für Rückfragen!

Update zum Dunkelziffer-Blogbeitrag 27.04.2020

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Schritt 1: Aus detaillierten Daten erhält man Infektionszahlen pro Alterssegment

Folgende Tabelle zeigt die Todesfälle und gemeldeten Infektionen (Bestätigte Fallzahlen) in Italien nach Alterssegment:

© Fraunhofer ITWM
Todesfälle und gemeldeten Infektionen (Bestätigte Fallzahlen) in Italien nach Alterssegment (Stand 02.04.2020).

In der letzten Spalte ist die Sterblichkeit (Mortalität) als simpler Quotient gegeben. Die Sterblichkeit auf diese Art zu definieren (»offene Fälle«) ist umstritten, da (neben dem Problem der unbekannten Dunkelziffer) zusätzlich ignoriert wird, dass einige aktuell Infizierte noch versterben werden.

Im nächsten Schritt benötigen wir die Sterblichkeit jedoch nicht und schauen nur auf die bestätigten Fallzahlen.

Schritt 2: Wir bestimmen die Prävalenz pro Alterssegment

Aus Bevölkerungszahlen wissen wir, dass z.B. 9,45 Millionen der 60,48 Millionen Italiener zwischen 50 und 59 Jahren alt sind. Von diesen 9,45 Millionen sind nun 20.975 als infiziert erkannt worden. Diesen Anteil an Infizierten an der Grundgesamtheit nennt man Prävalenz.

Folgende Tabelle zeigt die Prävalenzen nach Alterssegment und Geschlecht getrennt:

© Fraunhofer ITWM
Prävalenzen Italien nach Alterssegment und Geschlecht getrennt (Stand 02.04.2020).

So sind z.B. 0,518 Prozent der über 90-jährigen infiziert, jedoch nur 0,221 Prozent der 50-59-jährigen. Wie zu Beginn erläutert, sollte das Virus in allen Altersgruppen angekommen sein und sich in denjenigen mit der höchsten Mobilität am stärksten verbreitet haben. Die unterschiedlichen Prävalenzen, mit Hang zu älteren Segmenten, führen wir darauf zurück, dass vor allem bei milden Verläufen jüngerer Infizierter keine Tests durchgeführt wurden.

Schritt 3: Gleicht man die Prävalenzen an, ergibt sich eine untere Abschätzung für die Dunkelziffer

Die höchste Prävalenz liegt im Alterssegment 90+ Prozent mit 0,518 Prozent vor. Diese Zahl ist möglicherweise zu gering; sicher sind jedoch unter unseren Annahmen alle übrigen Prävalenzen zu gering.

Daher werden nun alle geringeren Prävalenzen auf 0,518 Prozent hochgerechnet. Am Beispiel der Prävalenz 0,221 Prozent der 50-59-jährigen:

Gäbe es bei den 50-59 insgesamt 48.954 Infektionen, so hätte dieses Segment die gleiche Prävalenz wie die über 90-jährigen. Das bedeutet 27.979 unentdeckte Infektionen, zusätzlich zu den 20.975 gemeldeten.

Wiederholt man diese Rechnung für alle Alterssegmente, erhält man 257.000 unbekannte Fälle in Italien. Für Deutschland ergibt eine analoge Rechnung 20.400 unbekannte Fälle.

Schritt 4: Die Anzahl der Kontakte nach Alterssegment erhöht die Dunkelzifferschätzung weiter

Wir haben gesehen, dass die hohen Alterssegmente – auf Basis der gemeldeten Infektionen – die höchsten Prävalenzen haben. Im ersten Schritt haben wir die Segmente mit niedrigerer Prävalenz angehoben, um eine gleichmäßige Durchmischung abzubilden.

Auf Basis einer Studie von (Mossong, et al., 2008) kennen wir folgende Anzahlen an sozialen Kontakten:

© Fraunhofer ITWM / Mossong, et al., 2008.
Anzahlen an sozialen Kontakten nach Mossong, et al., 2008.

Die mittlere Anzahl ist bei den 0- bis 59-jährigen erwartungsgemäß höher als bei der Gruppe 70+. Während die Autoren die Zahlen in der letzten Spalte auf die 0-4-jährigen normieren, beziehen wir uns wieder auf die über 90-jährigen. Deren Anzahl an sozialen Kontakten sind in der Tabelle nicht explizit ausgewiesen. Wir gehen davon aus, dass die Verwendung der Zahlen für 70+ eine Abschätzung nach unten darstellt.

Somit hat die Gruppe der 50-59-jährigen das 1,31/0,81 = 1,61 -fache an sozialen Kontakten, wie die über 90-jährigen. Diese Korrekturfaktoren werden zusätzlich mit den Dunkelziffern aus der gleichmäßigen Prävalenz multipliziert. Für das Segment 50-59 bedeutet das eine Dunkelziffer von: 49.954 * 1,61 = 76.816.

Das ergibt für Italien 476.297 unbekannte Fälle und für Deutschland 22.107 (Datenbasis vom 02.04.2020). Für die Sterblichkeitsraten erhält man damit in Italien angepasste Werte, wie in folgender Abbildung dargestellt.

© Fraunhofer ITWM
Vergleich der erfassten und angepassten Mortalität in Italien (Stand 02.04.2020)

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