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Wie (un)abhängig sind mehrere Antigen-Tests am Stück?

Streuspanne – Statistik und ihre Kuriositäten / 20. April 2022

Erhöhen mehrere Corona-Schnelltests am Stück die Aussagesicherheit des Ergebnisses? In einem der letzte Blogbeiträge haben wir uns dieser Frage vorsichtig genähert. Die große Herausforderung war, dass die einzelnen Tests nicht wirklich unabhängig voneinander sind, sondern Korrelationen aufweisen. Nun wollen wir diese Lücke schließen. Anstatt die dabei auftauchenden – mathematisch etwas anspruchsvolleren – Fragen im Detail zu diskutieren, wollen wir lieber herausfinden: Wie können sich solche Korrelationen auswirken?

Inzwischen kennt vermutlich jede:r mindestens eine Person, die mehrfach Antigen-Schnelltests mit negativem Ergebnis durchgeführt hat, nur um danach doch einen positiven PCR-Test zu erhalten. Da drängt sich automatisch eine Frage auf: Widerspricht das nicht der angegebenen – meist recht hohen – Sensitivität? Vor allem, wenn dem PCR-Test mehr als ein solcher Schnelltest vorausging?

Die statistische Antwort darauf lautet: Nicht zwingend – das hängt im Detail davon ab, wie die Sensitivität ermittelt wird. Ohne dies im Detail wissen zu müssen, können wir hier dennoch eine Erklärung geben. Wenn die Sensitivität über große Gruppen von Menschen ermittelt wird, dann sagt sie aus, wie wahrscheinlich der einmalige Test bei einem:r Infizierten anschlägt. Dies sagt allerdings nicht darüber etwas aus, wie der mehrfache Test bei dieser infizierten Person ausfällt.

Rauschende Messungen

Dazu eine Analogie: Wir interessieren uns für die Körpergröße von Menschen. Mit einem Maßband und Kreide bewaffnet messen wir Personen in der Fußgängerzone. Kurz an eine gerade Wand stellen, Kreidestrich auf Kopfhöhe setzen und die Höhe messen. Das funktioniert recht gut, ist aber nicht auf den Millimeter genau reproduzierbar. Eine Person im Messteam könnte z.B. Scheu davor haben, die Frisur der Vermessenen platt zu drücken. Das Resultat wird immer ein Ticken zu groß sein. Ein anderes Teammitglied vergisst darauf zu achten, dass die Fersen bündig an der Wand stehen. Hier wird das Resultat immer etwas zu gering ausfallen.

Können wir das Ergebnis durch mehrfaches Messen verbessern? Das kommt darauf an! Wenn immer das gleiche Teammitglied zuständig ist, dann wird die Verzerrung beibehalten. Wechselt das Teammitglied, so könnten sich die Fehler herausmitteln und verbessern das Resultat tatsächlich.

Bei Schnelltests findet man ähnliche Effekte, die allein auf das Messprozedere zurückzuführen sind. Ganz zu schweigen davon, dass sich die Virenlast an der Messstelle zeitlich ändern wird. Es gibt also auch bei Schnelltests mögliche Fehler, die auf den Anwendenden oder auf die Situation bei der/dem Proband:in zurückgehen. Diese können sich zum Teil wegmitteln, werden es aber sehr wahrscheinlich nicht alle tun.

Korrelation ist mathematisch schwer zu modellieren

Wir haben leider keine empirischen Daten oder sonstiges Wissen darüber, wie stark Ergebnisse von kurz hintereinander ausgeführter Antigen-Tests miteinander korrelieren. Ebenso haben wir das Wort »Korrelation« noch gar nicht hier im Blog erklärt. Holen wir das kurz nach:

Korrelationen messen wie stark der Zusammenhang einer (linearen) Je-desto-Aussage ist. »Je älter man ist, desto größer ist man«, gilt z.B. in den ersten 20 Lebensjahren recht stark, was einer Zahl nahe 1 entspricht. Jedoch ist »Je älter man ist, desto häufiger regnet es an Montagen auf Bali« vermutlich unkorreliert, was zu einer Zahl nahe bei oder gleich 0 führt. Etwas genauer formuliert: Die Korrelation zwischen zwei Größen A und B sagt aus, wie sehr man nach einer Abweichung von A über/unter deren Mittelwert auch erwarten darf, dass B über/unter ihrem Mittelwert liegt. Dabei sagt die Korrelation nichts darüber aus, wie groß ein Faktor zwischen zwei Variablen ist. Gilt also B = 10 A, so ist die Korrelation zwischen A und B hier ebenso 1, wie bei B = 0,0001 A.

Ein letzter Kommentar: Korrelationen sagen nichts über Kausalitäten aus. Die berühmten Storchpopulationen haben nichts mit Geburtenzahlen zu tun und mehr Speiseeisverkäufe lösen auch keinen Sommer aus (umgekehrt stimmt’s schon eher).

Zurück zur den mehrfachen Tests: Ist der Zeithorizont klein, so können wir nicht davon ausgehen, dass die Testergebnisse unkorreliert sind. Da die Schnelltests aber nicht perfekt reproduzierbar sind, liegt die Korrelation auch sicher kleiner als 1. Damit meinen wir im Detail: Es gibt uns unbekannte, sogenannte verborgene Einflussfaktoren bei den Testergebnissen, die sich in Korrelationen ausdrücken.

Ab hier müssen wir zwei Situationen unterscheiden: Korrelationen von Testergebnissen bei Erkrankten und Korrelationen von Testergebnissen bei Gesunden. Unser Setting ist dabei das gleiche wie im vorhergegangen Blogpost: Wir führen nacheinander drei Schnelltests aus, welche eine Sensitivität und Spezifität (Auffrischung gefällig, was diese Begriffe bedeutet haben? Gerne hierentlang. ) von 60 Prozent aufweisen. Die Zahl 60 Prozent war aus der Luft gegriffen und soll einen unzuverlässigen Test modellieren. Diese dreifache Ausführung eines Schnelltests nennen wir Serientest und für diesen wollen wir nun die Sensitivität und die Spezifität ausrechnen.

Mehrere Tests aus der Sicht der Erkrankten

Betrachten wir zuerst die Erkrankten. Folgende Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen Korrelation und Sensitivität bei erkrankten Personen. Die Korrelation wurde dabei auf spezielle Art und Weise simuliert (für die Expert:innen: wir haben einen Gauß-Copula genommen), was die genaue Form der Kurve etwas beeinflussen kann – die gezogenen Schlüsse bleiben aber dennoch valide.

Korrelation/Sensitivität — © Fraunhofer ITWM

Wir sehen: Je höher die Korrelation, desto geringer die Sensitivität. Ist die Korrelation 0, so beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein:e Erkrankte:r mindestens einen positiven Test erhält 93,6 Prozent (obere blau-gestrichelte Linie); ist die Korrelation perfekt, so ist diese Wahrscheinlichkeit bei genau 60 Prozent (untere blau-gestrichelte Linie). Diese Werte stellen zwei Extreme dar. Die 93,6 Prozent könnten Lesenden des ersten Teils unseres Blogposts zu diesem Thema bekannt vorkommen – ist die Korrelation 0, so sind die einzelnen Testergebnisse unabhängig voneinander und der Serientest hat eine deutlich erhöhte Sensitivität von eben jenen 93,6 Prozent. Umgekehrt: Ist die Korrelation 1, was eine perfekte Reproduzierbarkeit des Tests bedeutet, so legt das erste Testergebnis die nachfolgenden fest. Ist in diesem Fall der erste Test positiv, so sind es auch die nachfolgenden – mit anderen Worten: Ob ich nun einen oder zehn Tests ausführe, ist in diesem Fall egal. Demzufolge hat der Serientest in diesem Fall die gleiche Sensitivität wie der einzelne Test und dies waren die angenommenen 60 Prozent. Die Wahrheit dürfte nun irgendwo dazwischen liegen und damit wird unser Serientest eine reduzierte Sensitivität zwischen 60 und 93,6 Prozent aufweisen. Somit würde man als erkrankte Person hier immer von einem Serientest gegenüber einem einzelnen in Form einer (leicht) höheren Sensitivität profitieren.

Mehrere Tests aus der Sicht der Gesunden

Gehen wir nun zu der Spezifität und den Gesunden. Diese Situation wird in der folgenden Grafik dargestellt.

Spezifitaet/Korrelation — © Fraunhofer ITWM

Wir sehen: Je größer die Korrelation, desto größer die Spezifität. Dabei variiert die Spezifität im Bereich von 21,6 Prozent für Korrelation 0 bis 60 Prozent für Korrelation 1. Den ersten Wert kennen wir wieder aus dem ersten Blogteil: Wenn die einzelnen Testergebnisse unabhängig sind, dann sinkt die Spezifität für diese schlechte Spezifität eines Einzeltests sehr deutlich ab auf 21,6 Prozent.

Anders als bei Sensitivität ist der Serientest dem Einzeltest bzgl. Spezifität unterlegen. Als gesunder Mensch würde man vom Serientest also immer abraten. Der Effekt wird zwar umso schwächer, je stärker die Tests korrelieren (also je stärker sie reproduzierbar sind), ist aber prinzipiell immer vorhanden.

Fazit

Einzelne Testergebnisse werden in der Realität selten vollständig unkorreliert sein, aufgrund von Eigenschaften der Schnelltests, des zu testenden Menschen und der Person, die den Test durchführt. Wie hoch die Korrelationen im Einzelnen sind, können wir nicht sagen; wir können lediglich sagen: Je höher die Korrelation, desto weniger zusätzliche Information geben uns weitere Schnelltests. Damit kann es im Extremfall auch passieren, dass mehrere, von Sensitivität und Spezifität an sich gute, Schnelltests hintereinander positiv, bzw. negativ sind, obwohl die zu testende Person gesund, bzw. erkrankt ist. In der Praxis ist es also sinnvoll die Korrelationen möglichst gering zu halten und dies gelingt am besten dadurch, dass

man qualitativ gute (siehe Liste PEI) Schnelltests unterschiedlicher Hersteller verwendet.
man sich an unterschiedlichen Teststationen testen lässt.
die Abstände zwischen den einzelnen Tests nicht zu klein gewählt sind.
man darauf achtet, dass man nicht unmittelbar vorher etwas getrunken oder gegessen hat, bzw. nicht immer nach den gleichen Mahlzeiten testet – also bspw. nicht immer nach dem Morgen- bzw. Nachmittagskaffee einen Schnelltest durchführt.

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Wie (un)abhängig sind mehrere Antigen-Tests am Stück?

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Korrelation ist mathematisch schwer zu modellieren

Mehrere Tests aus der Sicht der Erkrankten

Mehrere Tests aus der Sicht der Gesunden

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Dr. Sascha Feth

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Dr. Jochen Fiedler