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Vor kurzem haben wir uns in einem Beitrag angesehen, wieso unvollständige Infektionszahlen in der Corona-Pandemie sich mit Garantiedaten bei Fahrzeugbauteilen vergleichen lassen. Heute ziehen wir die statistische Qualitätskontrolle zurate, um einige Verschwörungstheorien rund um Covid-19 zu verwerfen.
Ein Tweet von Florian Aigner fasst die aktuelle Erkenntnislage zu den wahren Hintergründen des Corona-Virus sehr gut zusammen:
Diesen Verschwörungstheorien kann man sich inhaltlich oder psychologisch nähern. Und, neu: Man kann sich ihnen ganz pauschal statistisch nähern. Dazu braucht es etwas Handwerkszeug, das wir am ITWM sonst in der statistischen Qualitätskontrolle einsetzen.
Wir postieren uns neben einem Fließband, an dem exemplarisch Atemschutzmasken produziert werden. Ein gewisser Ausschuss ist bekannt und wird toleriert. So lange z.B. 99 Prozent der Masken in Ordnung sind, betrachten wir die Produktion als gut. In der Qualitätskontrolle müssen diese 99 Prozent regelmäßig überprüft werden, wozu stichprobenartig einige Masken entnommen und der Prüfung unterzogen werden. Die Frage ist: Wie viele Masken muss man entnehmen, um diese 99 Prozent zu überprüfen?
Dazu braucht man einen Grundkurs Wahrscheinlichkeitsrechnung, um die Binomialverteilung zu kennen. Verlagern wir unser Problem an die Losbude. Dort wird mit »Jedes zehnte Los gewinnt!« geworben. Wie wahrscheinlich ist dann ein Gewinn, wenn wir genau zehn Lose ziehen? Denken Sie kurz darüber nach; die Auflösung folgt.
Zuvor noch zwei Kommentare: Zum einen ist bei der Qualitätskontrolle das gängige Ergebnis der einzelnen Maskenprüfung ein Erfolg (99 von 100), während bei der Losbude das gängige Ergebnis eine Niete ist (neun von zehn). In der Wahrscheinlichkeitstheorie spricht man immer von Erfolgswahrscheinlichkeit, egal ob man damit z.B. die Nietenwahrscheinlichkeit von 90 Prozent oder die Gewinnwahrscheinlichkeit von zehn Prozent meint. »Erfolg« ist hier nicht wörtlich gemeint, sondern meint »es ist das Ergebnis eingetreten, auf das wir uns konzentrieren«.
Zum anderen rechnet man in der Qualitätskontrolle häufig rückwärts. Während unsere Losbudenfrage war »Wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit zehn Prozent ist, wie wahrscheinlich ist dann ein Gewinn unter zehn Losen?«, fragt die Qualitätskontrolle eher »Wir haben keine defekte Maske unter 150 geprüften gefunden. Wie hoch ist die Erfolgswahrscheinlichkeit dann mindestens?«. Für unsere Anwendung auf die Verschwörungstheorien reicht die Vorwärtsdenke aus.
Wie hoch ist denn nun die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn aus zehn Losen? Fangen wir zunächst mit den Randfällen an: Kein einziger Gewinn und nur Gewinne.
Jeder Griff in die Lostrommel ist unabhängig vom vorherigen (zumindest wenn genügend Lose darin sind, sonst muss man die sog. Hypergeometrische Verteilung bemühen). Die Chance auf einen Gewinn bei z.B. Los Nummer zehn ist damit genau die gleiche wie bei den Losen eins bis neun. Die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren sich einfach:
Wie groß ist die Chance auf (genau) einen Gewinn? Dazu brauchen wir wieder zehn Faktoren. Einer davon ist Gewinnwahrscheinlichkeit 10 Prozent, die restlichen neun sind die Nietenwahrscheinlichkeit 90 Prozent:
10 Prozent x 90 Prozent x … x 90 Prozent = 3,87 Prozent
Noch ist das nicht die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Man muss jetzt noch berücksichtigen, dass es zehn Möglichkeiten gibt, an welcher Stelle der Gewinn auftaucht. Daher:
P(genau ein Gewinn) = 10 x 3,87 Prozent = 38,7 Prozent
Um nun z.B. »genau zwei Gewinne« zu berechnen ist etwas Kombinatorik notwendig. Man muss dazu wissen, auf wie viele Arten sich zwei Gewinne in zehn Losen positionieren lassen. Das erledigt dann die Binomialverteilung für einen. Glücklicherweise können wir hier eine Abkürzung nehmen. Wenn wir uns nämlich nicht für genau einen, sondern mindestens einen Gewinn interessieren, so ist das genau das Gegenteil von »kein Gewinn«:
P(mindestens ein Gewinn) = 100 Prozent - P(kein Gewinn) = 100 Prozent - 34,86 Prozent = 65,14 Prozent
Fassen wir kurz zusammen. Nur Gewinne passiert fast nie. In ca. 35 Prozent der Fälle haben wir nur Nieten, und in 39 Prozent der Fälle genau einen Gewinn. In den restlichen 26 Prozent der Fälle kommt es zu zwei, drei oder mehr Gewinnen. Zu mindestens einem Gewinn kommt es in 65,14 Prozent der Fälle.
Es gibt einen bekannten Artikel von David Grimes, erschienen 2016 im Journal »Plos One«. Mit Hilfe der Poisson-Verteilung rechnet er aus, wie wahrscheinlich es ist, eine Verschwörung im Laufe der Zeit auszuplaudern bzw. was die mittlere Haltbarkeit eines Geheimnisses wäre, bevor es auffliegt. Aus Gründen der Einfachheit lassen wir hier die zeitliche Komponente weg und fragen: Wie wahrscheinlich ist es, dass das Geheimnis für z.B. fünf Jahre ein solches bleibt?
Dazu muss man sich überlegen, wie wahrscheinlich es ist, dass der einzelne Mitwissende nichts ausplaudern wird. Nehmen wir an, jede/r Einzelne schafft das mit 99,99 Prozent Wahrscheinlichkeit (d.h. eine Person von zehntausend plaudert). Die folgenden Überlegungen darf die/der geneigte Leser/in gerne für andere Wahrscheinlichkeiten anstellen.
Fangen wir damit an, dass die WHO und große Pharmafirmen uns mit Impfungen irgendwie Böses wollen. Grimes schätzt, dass hier circa 730.000 Menschen an der Verschwörung beteiligt sein müssen. Also müssen wir 99,99 Prozent 730.000-mal mit sich selbst multiplizieren. Machen wir es kurz:
Die Tabelle zeigt, dass es bereits ab 100.000 Mitwissenden unmöglich ist, das Geheimnis für fünf Jahre zu wahren (mit dem Hinweis, dass die fünf Jahre hier willkürlich gewählt wurden). Aber immerhin: Wüssten nur 100 Leute davon, bleibt es geheim.
Selbst wenn wir das Geheimnis beim Einzelnen besser schützen und 99,999% Sicherheit annehmen (Eiine/r von Hundertausend plaudert) bleibt es bei 100.000 Mitwissenden meistens nicht geheim, bei einer Million Mitwissenden sowieso nicht:
Fazit: Alle Verschwörungstheorien, die bei mehr als 100.000 Mitwissenden über mehr als ein paar Jahre ein Geheimnis bewahrt haben sollen, können Sie sofort verwerfen. Darunter fallen z.B. Mondlandung, Klimawandellüge und Impfstoff-Betrug.
Kleinere Verschwörungstheorien (unter 100.000 Mitwissenden) müssten Sie bitte auf der inhaltlichen Ebene verwerfen.
Fraunhofer-Institut für Techno- und Wirtschaftsmathematik ITWM